高中数学不等式强基计划补充内容：Jensen（琴生）不等式及其应用 数学强基计划学校排名
2024-10-17 06:51:56 | 三涯网
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高中数学不等式强基计划补充内容：Jensen（琴生）不等式及其应用
Jensen不等式是数学竞赛中常用的不等式工具，以下内容将详细解析Jensen不等式及其应用。首先，函数的凹凸性是理解Jensen不等式的前提，从直观上理解，如果函数图像呈向上弯曲则为凸函数，反之则为凹函数。具体而言，如果函数在区间[a, b]上的导数为正，且其二阶导数也为正，则该函数为严格凸函数。
Jensen不等式的核心内容为：对于一个严格凸函数f，在区间[a, b]上，任意选取一组权重值λi（i=1, 2, ..., n）满足λi ≥ 0且∑λi = 1，有f(∑λixi) ≤ ∑λif(xi)。当取等条件成立时，即所有xi相等。
接下来，通过例题进行应用解析。例题1为2008年南京大学自主招生题目，题中给定函数f(x) = xlnx + (1-x)ln(1-x)，要求证明f(x)在区间(0, 1)上单调递增。通过求导可得f'(x) = ln(x/(1-x)) + 1，取导数为f''(x) = ln((1-x)/x) > 0，表明函数f(x)在区间(0, 1)上严格凸。根据Jensen不等式，可以得到f((x+(1-x))/2) ≤ f(x)/2 + f(1-x)/2，即f(x)在区间(0, 1)上单调递增。
例题2与例题3中，重点在于对函数的二阶导正性的判断，通过求导并验证二阶导数的正性，可以判断函数是否为严格凸函数，从而应用Jensen不等式解决问题。
总体而言，Jensen不等式在处理不等式问题时提供了有效的工具，其核心在于理解函数的凹凸性与凸性，并借助严格的数学证明方法进行应用。
数学强基计划学校排名
基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生。
2020年1月13日，《教育部关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点。据2021年4月18日央视网消息:36所高校陆续发布了"强基计划"招生简章。报名日期截止在4月底。
强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生。聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生专业。
要突出基础学科的支撑引领作用，重点在数学、物理、化学、信息学、生物及历史、哲学、古文字学等相关专业招生。建立学科专业的动态调整机制，根据新形势要求和招生情况，适时调整强基计划招生专业。
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